FlareBlog
FlareBlog

MATH 2010 考试 4 复习题

James James 收录于 Electrical Engineering 和 MATH-2010
 约 15800 字 预计阅读 32 分钟 - 次阅读   - 条评论  
目录
注意
本文最后更新于 2026-04-23，文中内容可能已过时。

概述

考试 #4 将于 4 月 24 日星期五在 LECTURE 进行，涵盖本学期讲授的所有矩阵代数内容（第 13-26 讲）。考试会更侧重于考试 3 之后讲授的材料（3.3、3.4、3.5、3.6、4.1、4.2、4.4、4.5、4.6 和 4.7 节），但你应准备好回答来自考试 3 所涵盖的任何章节的问题（1.1、1.2、1.3、1.5、1.6、1.7、1.9 和 3.2 节）。

如果你提交了带有考试便利条件的 ANSS 备忘录，将通过电子邮件与你联系，告知你考试的替代地点详情。只有在 4 月 22 日星期三下午 5 点之前通过电子邮件向讲师发送了便利条件备忘录的学生才能使用他们的考试便利条件。

你将有 70 分钟完成考试。学生必须准时到达并听取关于座位要求的指示。学生必须将所有背包留在考试室前部的墙边。不要阻挡任何出口或阻碍任何通道。如果你在考试开始后到达，将不会给你额外时间完成考试。学生将被要求签到，并且会收集的考试将与签到表进行交叉检查。未签到的学生的考试将不予评分。

问题

Q1. 张成与线性组合

设 v⃗1=[120]\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}，v⃗2=[0−11]\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}。
判断下列每个向量是否在 Sp{v⃗1,v⃗2}Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\} 中。对于在 Sp{v⃗1,v⃗2}Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\} 中的每个向量，将其写为 v⃗1\vec{v}_1 和 v⃗2\vec{v}_2 的线性组合。

  • (a) v⃗=[11−1]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}
  • (b) w⃗=[231]\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}
本题答案

我们检查每个向量是否可以写成 c1v⃗1+c2v⃗2c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 的形式。

(a) v⃗=[11−1]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}

建立方程组 c1[120]+c2[0−11]=[11−1]c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}：

{c1=12c1−c2=1c2=−1\begin{cases} c_1 = 1 \\ 2c_1 - c_2 = 1 \\ c_2 = -1 \end{cases}

由第一个方程：c1=1c_1 = 1。
由第三个方程：c2=−1c_2 = -1。
代入第二个方程：2(1)−(−1)=3≠12(1) - (-1) = 3 \neq 1。矛盾。

答案 (a)： v⃗∉Sp{v⃗1,v⃗2}\vec{v} \notin Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}。

(b) w⃗=[231]\vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

建立方程组 c1[120]+c2[0−11]=[231]c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}：

{c1=22c1−c2=3c2=1\begin{cases} c_1 = 2 \\ 2c_1 - c_2 = 3 \\ c_2 = 1 \end{cases}

由第一个方程：c1=2c_1 = 2。
由第三个方程：c2=1c_2 = 1。
验证第二个方程：2(2)−1=32(2) - 1 = 3。相容 ✓\checkmark

答案 (b)： w⃗∈Sp{v⃗1,v⃗2}\vec{w} \in Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\} 且 w⃗=2v⃗1+v⃗2\vec{w} = 2\vec{v}_1 + \vec{v}_2。

最终答案

  • (a) v⃗∉Sp{v⃗1,v⃗2}\vec{v} \notin Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}
  • (b) w⃗=2v⃗1+v⃗2\vec{w} = 2\vec{v}_1 + \vec{v}_2

Q2. 零空间

判断下列哪些向量在矩阵 A=[2233]A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} 的零空间中。

  • (a) a⃗=[1−1]\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
  • (b) b⃗=[2−3]\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}
  • (c) c⃗=[−22]\vec{c} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}
  • (d) d⃗=[10]\vec{d} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
  • (e) e⃗=[00]\vec{e} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
本题答案

向量 x⃗\vec{x} 在 AA 的零空间中，当且仅当 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}。

检查每个向量：

(a) Aa⃗=[2233][1−1]=[2−23−3]=[00]A\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-2 \\ 3-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ✅

(b) Ab⃗=[2233][2−3]=[4−66−9]=[−2−3]≠0⃗A\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-6 \\ 6-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix} \neq \vec{0} ❌

(c) Ac⃗=[2233][−22]=[−4+4−6+6]=[00]A\vec{c} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4+4 \\ -6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ✅

(d) Ad⃗=[2233][10]=[23]≠0⃗A\vec{d} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \neq \vec{0} ❌

(e) Ae⃗=[2233][00]=[00]A\vec{e} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ✅

最终答案 在 N(A)N(A) 中：a⃗,c⃗,e⃗\vec{a}, \vec{c}, \vec{e}。不在 N(A)N(A) 中：b⃗,d⃗\vec{b}, \vec{d}。

Q3. 值域（列空间）

判断下列哪些向量在矩阵 A=[−132−6]A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -6 \end{bmatrix} 的值域中（也称为 AA 的列空间）。如果向量在 AA 的值域中，将其写为 AA 的列向量的线性组合。

  • (a) b⃗1=[1−3]\vec{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}
  • (b) b⃗2=[4−8]\vec{b}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \end{bmatrix}
本题答案

向量 b⃗\vec{b} 在 AA 的值域（列空间）中，当且仅当 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} 相容。等价地，如果 b⃗\vec{b} 是 AA 的列向量的线性组合。

设 A=[−132−6]A = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -6 \end{bmatrix} 的列向量为 a⃗1=[−12]\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 a⃗2=[3−6]\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \end{bmatrix}。

注意 a⃗2=−3a⃗1\vec{a}_2 = -3\vec{a}_1，因此列空间是一维的：col(A)=Sp{a⃗1}col(A) = Sp\{\vec{a}_1\}。

(a) b⃗1=[1−3]\vec{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}

求解 c1[−12]+c2[3−6]=[1−3]c_1\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 3 \\ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}：

{−c1+3c2=12c1−6c2=−3\begin{cases} -c_1 + 3c_2 = 1 \\ 2c_1 - 6c_2 = -3 \end{cases}

第二个方程是第一个的 −2-2 倍：−2(1)=−2≠−3-2(1) = -2 \neq -3。不相容。

答案 (a)： b⃗1∉col(A)\vec{b}_1 \notin col(A)。

(b) b⃗2=[4−8]\vec{b}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \end{bmatrix}

求解 c1[−12]+c2[3−6]=[4−8]c_1\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 3 \\ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \end{bmatrix}：

{−c1+3c2=42c1−6c2=−8\begin{cases} -c_1 + 3c_2 = 4 \\ 2c_1 - 6c_2 = -8 \end{cases}

第二个方程是第一个的 −2-2 倍：−2(4)=−8-2(4) = -8。相容。

选择 c2=0c_2 = 0，则 c1=−4c_1 = -4。因此 b⃗2=−4a⃗1+0a⃗2\vec{b}_2 = -4\vec{a}_1 + 0\vec{a}_2。

答案 (b)： b⃗2∈col(A)\vec{b}_2 \in col(A) 且 b⃗2=−4a⃗1+0a⃗2\vec{b}_2 = -4\vec{a}_1 + 0\vec{a}_2。

最终答案

  • (a) b⃗1∉col(A)\vec{b}_1 \notin col(A)
  • (b) b⃗2∈col(A)\vec{b}_2 \in col(A)，b⃗2=−4a⃗1+0a⃗2\vec{b}_2 = -4\vec{a}_1 + 0\vec{a}_2

Q4. 矩阵的子空间

设 A=[1011200110−10]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}。

  • (a) 将 N(A)N(A) 写为线性无关向量集合的张成。
  • (b) 将 col(A)col(A) 写为线性无关向量集合的张成。
  • (c) 将 row(A)row(A) 写为线性无关向量集合的张成。
本题答案

首先对 A=[1011200110−10]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} 进行行化简：

[1011200110−10]→R2→R2−2R1,  R3→R3−R1[101100−2−100−2−1]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \to R_2-2R_1,\; R_3 \to R_3-R_1} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right]→R3→R3−R2[101100−2−10000]→R2→−12R2[1011001120000]\xrightarrow{R_3 \to R_3-R_2} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \to -\frac{1}{2}R_2} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]→R1→R1−R2[10012001120000]\xrightarrow{R_1 \to R_1-R_2} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

这就是 RREF。主元列：1, 3。自由变量：x2,x4x_2, x_4。

(a) 零空间 N(A)N(A)：

由 RREF：x1+12x4=0x_1 + \frac{1}{2}x_4 = 0 且 x3+12x4=0x_3 + \frac{1}{2}x_4 = 0。

{x1=−12x4x2=x2（自由）x3=−12x4x4=x4（自由）\begin{cases} x_1 = -\frac{1}{2}x_4 \\ x_2 = x_2 \text{（自由）} \\ x_3 = -\frac{1}{2}x_4 \\ x_4 = x_4 \text{（自由）} \end{cases}

向量形式：

x⃗=x2[0100]+x4[−120−121]\vec{x} = x_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}

答案 (a)： N(A)=Sp{[0100],[−120−121]}N(A) = Sp\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix} \right\}

(b) 列空间 col(A)col(A)：

主元列为 1 和 3，因此 col(A)col(A) 由原始 AA 的第 1 列和第 3 列张成：

答案 (b)： col(A)=Sp{[121],[10−1]}col(A) = Sp\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}

(c) 行空间 row(A)row(A)：

RREF 的非零行构成一个基：

答案 (c)： row(A)=Sp{[10012],[00112]}row(A) = Sp\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \right\}

Q5. 列空间、行空间和零空间的基与维数

设 A=[122−56−1−2−11−1485−893615−6]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 4 & 8 & 5 & -8 & 9 \\ 3 & 6 & 1 & 5 & -6 \end{bmatrix}。
求 AA 的列空间、行空间和零空间的基。给出各自的维数。

本题答案 A=[122−56−1−2−11−1485−893615−6]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & -5 & 6 \\ -1 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 4 & 8 & 5 & -8 & 9 \\ 3 & 6 & 1 & 5 & -6 \end{bmatrix}

行化简：

R2→R2+R1R_2 \to R_2 + R_1：[0,0,1,−4,5][0, 0, 1, -4, 5] R3→R3−4R1R_3 \to R_3 - 4R_1：[0,0,−3,12,−15][0, 0, -3, 12, -15] R4→R4−3R1R_4 \to R_4 - 3R_1：[0,0,−5,20,−24][0, 0, -5, 20, -24]

[122−56001−4500−312−1500−520−24]\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & 12 & -15 \\ 0 & 0 & -5 & 20 & -24 \end{array}\right]

R3→R3+3R2R_3 \to R_3 + 3R_2：[0,0,0,0,0][0, 0, 0, 0, 0] R4→R4+5R2R_4 \to R_4 + 5R_2：[0,0,0,0,1][0, 0, 0, 0, 1]

交换 R3↔R4R_3 \leftrightarrow R_4：

[122−56001−450000100000]\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

化为 RREF： R2→R2−5R3R_2 \to R_2 - 5R_3：[0,0,1,−4,0][0, 0, 1, -4, 0] R1→R1−6R3R_1 \to R_1 - 6R_3：[1,2,2,−5,0][1, 2, 2, -5, 0] R1→R1−2R2R_1 \to R_1 - 2R_2：[1,2,0,3,0][1, 2, 0, 3, 0]

RREF=[12030001−400000100000]\text{RREF} = \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

主元列：1, 3, 5。自由变量：x2,x4x_2, x_4。

列空间： 原始 AA 的第 1、3、5 列：

基={[1−143],[2−151],[6−19−6]},dim⁡=3\text{基} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 \\ -1 \\ 9 \\ -6 \end{bmatrix} \right\}, \quad \dim = 3

行空间： RREF 的非零行（写为行向量）：

基={[12030],[001−40],[00001]},dim⁡=3\text{基} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}, \quad \dim = 3

零空间：

{x1+2x2+3x4=0x3−4x4=0x5=0  ⟹  {x1=−2x2−3x4x3=4x4x5=0\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 0 \\ x_5 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = -2x_2 - 3x_4 \\ x_3 = 4x_4 \\ x_5 = 0 \end{cases}x⃗=x2[−21000]+x4[−30410]\vec{x} = x_2\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}基={[−21000],[−30410]},dim⁡=2\text{基} = \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}, \quad \dim = 2

最终答案

  • 列空间基：{[1−143],[2−151],[6−19−6]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 \\ -1 \\ 9 \\ -6 \end{bmatrix} \right\}，dim⁡=3\dim = 3
  • 行空间基：{[12030],[001−40],[00001]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}，dim⁡=3\dim = 3
  • 零空间基：{[−21000],[−30410]}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}，dim⁡=2\dim = 2

Q6. 子空间的基与维数

设 W={x⃗=[x1x2x3]∈R3:x1−x2+x3=0}W = \left\{ \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \right\}。

  • (a) 求 WW 的基。
  • (b) WW 的维数是多少？
本题答案

W={x⃗∈R3:x1−x2+x3=0}W = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}

我们可以写成 x1=x2−x3x_1 = x_2 - x_3，因此 x2x_2 和 x3x_3 是自由变量。

(a) WW 中的任意向量可写为：

x⃗=[x2−x3x2x3]=x2[110]+x3[−101]\vec{x} = \begin{bmatrix} x_2-x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

这两个向量线性无关（一个不是另一个的标量倍数）。

答案 (a)： WW 的基为 {[110],[−101]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}

(b) 维数是基中向量的个数。

答案 (b)： dim⁡(W)=2\dim(W) = 2

最终答案

  • (a) 基：{[110],[−101]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
  • (b) dim⁡(W)=2\dim(W) = 2

Q7. Gram-Schmidt 正交化过程与坐标

设 W=Sp{v⃗1,v⃗2,v⃗3}W = Sp\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}，其中 v⃗1=[221]\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}，v⃗2=[−212]\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}，v⃗3=[1800]\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 线性无关。

  • (a) 使用 Gram-Schmidt 正交化构造 WW 的标准正交基 {u⃗1,u⃗2,u⃗3}\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}。
  • (b) 求 x⃗=[111]\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 关于 u⃗1,u⃗2,u⃗3\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3 的坐标。
    即，求 a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 使得 x⃗=a1u⃗1+a2u⃗2+a3u⃗3\vec{x} = a_1\vec{u}_1 + a_2\vec{u}_2 + a_3\vec{u}_3。
本题答案

v⃗1=[221],  v⃗2=[−212],  v⃗3=[1800]\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \;\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \;\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

(a) Gram-Schmidt 正交化：

步骤 1： w⃗1=v⃗1=[221],∥w⃗1∥=4+4+1=3\vec{w}_1 = \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \|\vec{w}_1\| = \sqrt{4+4+1} = 3

步骤 2：

w⃗2=v⃗2−v⃗2⋅w⃗1∥w⃗1∥2w⃗1\vec{w}_2 = \vec{v}_2 - \frac{\vec{v}_2 \cdot \vec{w}_1}{\|\vec{w}_1\|^2}\vec{w}_1

v⃗2⋅w⃗1=(−2)(2)+(1)(2)+(2)(1)=−4+2+2=0\vec{v}_2 \cdot \vec{w}_1 = (-2)(2) + (1)(2) + (2)(1) = -4 + 2 + 2 = 0

w⃗2=v⃗2=[−212],∥w⃗2∥=4+1+4=3\vec{w}_2 = \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \|\vec{w}_2\| = \sqrt{4+1+4} = 3

步骤 3：

w⃗3=v⃗3−v⃗3⋅w⃗1∥w⃗1∥2w⃗1−v⃗3⋅w⃗2∥w⃗2∥2w⃗2\vec{w}_3 = \vec{v}_3 - \frac{\vec{v}_3 \cdot \vec{w}_1}{\|\vec{w}_1\|^2}\vec{w}_1 - \frac{\vec{v}_3 \cdot \vec{w}_2}{\|\vec{w}_2\|^2}\vec{w}_2

v⃗3⋅w⃗1=18(2)=36\vec{v}_3 \cdot \vec{w}_1 = 18(2) = 36
v⃗3⋅w⃗2=18(−2)=−36\vec{v}_3 \cdot \vec{w}_2 = 18(-2) = -36

w⃗3=[1800]−369[221]−−369[−212]=[1800]−4[221]+4[−212]\vec{w}_3 = \begin{bmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{36}{9}\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{-36}{9}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}

=[18−8−80−8+40−4+8]=[2−44],∥w⃗3∥=4+16+16=6= \begin{bmatrix} 18-8-8 \\ 0-8+4 \\ 0-4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \|\vec{w}_3\| = \sqrt{4+16+16} = 6

归一化得到标准正交基：

u⃗1=13[221],u⃗2=13[−212],u⃗3=16[2−44]\vec{u}_1 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{u}_2 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{u}_3 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}

(b) x⃗=[111]\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} 的坐标：

由于 {u⃗1,u⃗2,u⃗3}\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\} 是标准正交的：

a1=x⃗⋅u⃗1=13(2+2+1)=53a_1 = \vec{x} \cdot \vec{u}_1 = \frac{1}{3}(2+2+1) = \frac{5}{3}

a2=x⃗⋅u⃗2=13(−2+1+2)=13a_2 = \vec{x} \cdot \vec{u}_2 = \frac{1}{3}(-2+1+2) = \frac{1}{3}

a3=x⃗⋅u⃗3=16(2−4+4)=13a_3 = \vec{x} \cdot \vec{u}_3 = \frac{1}{6}(2-4+4) = \frac{1}{3}

验证： 53u⃗1+13u⃗2+13u⃗3=59[221]+19[−212]+118[2−44]=118[181818]=[111]\frac{5}{3}\vec{u}_1 + \frac{1}{3}\vec{u}_2 + \frac{1}{3}\vec{u}_3 = \frac{5}{9}\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{9}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \frac{1}{18}\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix} 18 \\ 18 \\ 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} ✓\checkmark

最终答案

  • (a) u⃗1=13[221],  u⃗2=13[−212],  u⃗3=16[2−44]\vec{u}_1 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \;\vec{u}_2 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \;\vec{u}_3 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix}
  • (b) a1=53,  a2=13,  a3=13a_1 = \frac{5}{3}, \;a_2 = \frac{1}{3}, \;a_3 = \frac{1}{3}

Q8. 特征值、重数与亏损性

对于以下矩阵，求 AA 的特征值和特征向量。对于每个特征值，给出代数和几何重数。AA 是否亏损？

  • (a) A=[3003]A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}。
  • (b) A=[3103]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}。
本题答案

(a) A=[3003]A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}

这是 3I3I。特征方程：det⁡(A−λI)=(3−λ)2=0\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)^2 = 0。

  • 特征值： λ=3\lambda = 3
  • 代数重数： 2

特征向量：(A−3I)x⃗=0⃗  ⟹  [0000]x⃗=0⃗(A - 3I)\vec{x} = \vec{0} \implies \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\vec{x} = \vec{0}。R2\mathbb{R}^2 中的任意向量都是特征向量。

特征空间的基：{[10],[01]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}

  • 几何重数： 2
  • 是否亏损？ 否（所有特征值的代数重数等于几何重数）

(b) A=[3103]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}

特征方程：det⁡(A−λI)=(3−λ)2=0\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)^2 = 0。

  • 特征值： λ=3\lambda = 3
  • 代数重数： 2

特征向量：(A−3I)x⃗=0⃗  ⟹  [0100][x1x2]=[00]  ⟹  x2=0,x1(A - 3I)\vec{x} = \vec{0} \implies \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies x_2 = 0, x_1 自由。

特征空间的基：{[10]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}

  • 几何重数： 1
  • 是否亏损？ 是（代数重数 2 > 几何重数 1）

最终答案

  • (a) λ=3\lambda = 3（代数重数 2，几何重数 2），非亏损
  • (b) λ=3\lambda = 3（代数重数 2，几何重数 1），亏损

Q9. 特征值与特征空间

A=[1−111]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}。
求 AA 的特征值和特征空间的基。

本题答案 A=[1−111]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

特征方程：

det⁡(A−λI)=det⁡[1−λ−111−λ]=(1−λ)2+1=0\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)^2 + 1 = 0

(1−λ)2=−1  ⟹  1−λ=±i(1-\lambda)^2 = -1 \implies 1-\lambda = \pm i

特征值：

λ1=1+i,λ2=1−i\lambda_1 = 1 + i, \quad \lambda_2 = 1 - i

λ1=1+i\lambda_1 = 1 + i 的特征向量：

(A−(1+i)I)x⃗=[−i−11−i][x1x2]=[00](A - (1+i)I)\vec{x} = \begin{bmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

由第一行：−ix1−x2=0  ⟹  x2=−ix1-ix_1 - x_2 = 0 \implies x_2 = -ix_1。

令 x1=1  ⟹  x2=−ix_1 = 1 \implies x_2 = -i。特征空间的基：[1−i]\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}。

λ2=1−i\lambda_2 = 1 - i 的特征向量：

(A−(1−i)I)x⃗=[i−11i][x1x2]=[00](A - (1-i)I)\vec{x} = \begin{bmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

由第一行：ix1−x2=0  ⟹  x2=ix1ix_1 - x_2 = 0 \implies x_2 = ix_1。

令 x1=1  ⟹  x2=ix_1 = 1 \implies x_2 = i。特征空间的基：[1i]\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}。

最终答案

  • λ1=1+i\lambda_1 = 1+i，基：{[1−i]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \right\}
  • λ2=1−i\lambda_2 = 1-i，基：{[1i]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \right\}

Q10. 矩阵对角化

设 A=[4−32−1]A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}。
将矩阵对角化，并利用对角化计算 A6A^6。

本题答案 A=[4−32−1]A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}

步骤 1：求特征值

det⁡(A−λI)=det⁡[4−λ−32−1−λ]=(4−λ)(−1−λ)+6=λ2−3λ+2=(λ−1)(λ−2)=0\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4-\lambda & -3 \\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(-1-\lambda) + 6 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0

特征值： λ1=1\lambda_1 = 1，λ2=2\lambda_2 = 2。

步骤 2：求特征向量

对于 λ1=1\lambda_1 = 1：

(A−I)x⃗=[3−32−2][x1x2]=[00]  ⟹  x1=x2(A - I)\vec{x} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies x_1 = x_2

特征向量：p⃗1=[11]\vec{p}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

对于 λ2=2\lambda_2 = 2：

(A−2I)x⃗=[2−32−3][x1x2]=[00]  ⟹  2x1=3x2  ⟹  x1=32x2(A - 2I)\vec{x} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies 2x_1 = 3x_2 \implies x_1 = \frac{3}{2}x_2

特征向量：p⃗2=[32]\vec{p}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}

步骤 3：对角化

P=[1312],D=[1002]P = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

验证：A=PDP−1A = PDP^{-1}，其中 P−1=12−3[2−3−11]=[−231−1]P^{-1} = \frac{1}{2-3}\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

步骤 4：计算 A6A^6

A6=PD6P−1=[1312][10064][−231−1]A^6 = PD^6P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 64 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}=[11921128][−231−1]=[−2+1923−192−2+1283−128]=[190−189126−125]= \begin{bmatrix} 1 & 192 \\ 1 & 128 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+192 & 3-192 \\ -2+128 & 3-128 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 190 & -189 \\ 126 & -125 \end{bmatrix}

最终答案

  • A=PDP−1A = PDP^{-1}，其中 P=[1312]P = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}，D=[1002]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}，P−1=[−231−1]P^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
  • A6=[190−189126−125]A^6 = \begin{bmatrix} 190 & -189 \\ 126 & -125 \end{bmatrix}

Q11. 对称矩阵的对角化

设 A=[20−1030−102]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}。
AA 是否可对角化？如果是，求 AA 的对角化。

本题答案 A=[20−1030−102]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}

由于 AA 是对称矩阵，保证可以对角化。

步骤 1：求特征值

det⁡(A−λI)=det⁡[2−λ0−103−λ0−102−λ]\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 0 & -1 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & 0 & 2-\lambda \end{bmatrix}

沿第二行展开：

(3−λ)⋅det⁡[2−λ−1−12−λ]=(3−λ)((2−λ)2−1)(3-\lambda) \cdot \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (3-\lambda)\left((2-\lambda)^2 - 1\right)

=(3−λ)(λ2−4λ+3)=(3−λ)(λ−1)(λ−3)=−(λ−1)(λ−3)2= (3-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (3-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3) = -(\lambda-1)(\lambda-3)^2

特征值： λ1=1\lambda_1 = 1，λ2=3\lambda_2 = 3。

步骤 2：求特征向量

对于 λ1=1\lambda_1 = 1：

(A−I)x⃗=[10−1020−101][x1x2x3]=[000](A - I)\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

x1−x3=0  ⟹  x1=x3x_1 - x_3 = 0 \implies x_1 = x_3，且 2x2=0  ⟹  x2=02x_2 = 0 \implies x_2 = 0。
特征向量：p⃗1=[101]\vec{p}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

对于 λ2=3\lambda_2 = 3：

(A−3I)x⃗=[−10−1000−10−1][x1x2x3]=[000](A - 3I)\vec{x} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

x1+x3=0  ⟹  x3=−x1x_1 + x_3 = 0 \implies x_3 = -x_1，且 x2x_2 自由。
特征向量：p⃗2=[010]\vec{p}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}，p⃗3=[10−1]\vec{p}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}

步骤 3：对角化

P=[10101010−1],D=[100030003]P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

由于 AA 是对称矩阵且来自不同特征空间的特征向量正交，我们可以归一化：

u⃗1=12[101],  u⃗2=[010],  u⃗3=12[10−1]\vec{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \;\vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \;\vec{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}Q=[12012010120−12],D=[100030003]Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

且 A=QDQTA = QDQ^T（正交对角化）。

最终答案

  • 是，AA 可对角化（它是对称矩阵）。
  • 特征值：λ=1\lambda = 1（重数 1），λ=3\lambda = 3（重数 2）
  • A=PDP−1A = PDP^{-1}，其中 P=[10101010−1]P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}，D=[100030003]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
  • 正交对角化：A=QDQTA = QDQ^T，其中 QQ 为上述标准正交矩阵。

相关内容

收录于 合集・MATH-2010 4
更新于 2026-04-23 
阅读原始文档
RPI考试MATH-2010
返回 | 主页
切换 选择 ESC 关闭
搜索引擎 Fuse.js