MATH 2010 考试 2 复习题

要计算二重积分 $\iint_D xy \, dA$，我们首先需要确定积分区域 $D$ 并设置累次积分。

1. 确定区域 $D$

区域 $D$ 由曲线 $y = x$ 和 $y = \sqrt{x}$ 围成。为了找到这些曲线的交点，我们将方程设为相等：

两边平方得：

因此，交点出现在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处。对应的 $y$ 值为 $y=0$ 和 $y=1$，得到点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。

在区间 $0 < x < 1$ 上，我们有 $\sqrt{x} > x$。因此，区域 $D$ 可以描述为：

2. 设置积分

我们可以将二重积分表示为关于 $y$ 先积分、然后关于 $x$ 积分的累次积分：

3. 计算内层积分

首先，关于 $y$ 积分，将 $x$ 视为常数：

代入积分限：

4. 计算外层积分

现在，将结果从 $0$ 到 $1$ 关于 $x$ 积分：

在边界处求值：

找到公分母：

最终答案

要使用极坐标计算积分 $\iint_D (x^2+y^2) \, dA$，我们按以下步骤进行。

1. 坐标变换 我们从笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换到极坐标 $(r, \theta)$，使用关系：

因此，项 $x^2 + y^2$ 变为 $r^2$，面积元素 $dA$ 变为 $r \, dr \, d\theta$。

2. 确定积分区域 区域 $D$ 由圆 $x^2+y^2=4$ 和 $x^2+y^2=9$ 围成，约束条件为 $x \ge 0$ 和 $y \ge 0$。

• 圆的方程转换为 $r^2 = 4 \implies r = 2$ 和 $r^2 = 9 \implies r = 3$。因此，径向范围为 $2 \le r \le 3$。
• 约束 $x \ge 0$ 和 $y \ge 0$ 将区域限制在第一象限，对应于 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

因此，极坐标中的区域 $D$ 定义为：

3. 设置积分 将被积函数和微分元素代入二重积分：

4. 计算积分 首先，计算关于 $r$ 的内层积分：

然后，计算关于 $\theta$ 的外层积分：

最终答案

要使用极坐标计算 $f(x,y) = (x^2+y^2)^{-3/2}$ 在区域 $D$ 上的积分，我们按以下步骤进行。

1. 理解区域 $D$

区域 $D$ 由两个条件定义：

• $x^2+y^2 \le 16$：这是以原点为中心、半径为 4 的圆盘。
• $x+y \ge 4$：这是直线 $x+y=4$ 上方的半平面。

区域 $D$ 是位于直线 $x+y=4$ 上方的圆盘部分。

2. 找到交点

为了找到直线 $x+y=4$ 与圆 $x^2+y^2=16$ 的交点，我们将 $y = 4-x$ 代入圆方程：

因此，$x = 0$ 或 $x = 4$。交点为 $(0, 4)$ 和 $(4, 0)$。

3. 转换为极坐标

使用极坐标：

• $x = r \cos \theta$
• $y = r \sin \theta$
• $x^2 + y^2 = r^2$
• $dA = r \, dr \, d\theta$

被积函数变为：

4. 确定边界

• 径向边界： 从直线 $x+y=4$，我们有 $r(\cos\theta + \sin\theta) = 4$，所以 $r = \frac{4}{\cos\theta + \sin\theta}$。从圆，$r = 4$。因此，$\frac{4}{\cos\theta + \sin\theta} \le r \le 4$。
• 角边界： 交点 $(4, 0)$ 和 $(0, 4)$ 分别对应 $\theta = 0$ 和 $\theta = \frac{\pi}{2}$。因此，$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

5. 设置积分

6. 计算内层积分

7. 计算外层积分

最终答案

要计算三重积分 $\iiint_B (xz + yz^2) \, dV$，其中 $B = [0,1] \times [2,4] \times [0,2]$，我们根据矩形盒 $B$ 的边界设置累次积分。

1. 设置积分

区域 $B$ 由以下不等式定义：

我们可以将三重积分写为累次积分。对于矩形盒，积分顺序不重要，但我们将按 $z$、然后 $y$、然后 $x$ 的顺序积分：

2. 计算内层积分（关于 $z$）

首先，关于 $z$ 积分，将 $x$ 和 $y$ 视为常数：

代入极限 $z=2$ 和 $z=0$：

3. 计算中层积分（关于 $y$）

接下来，将结果从 $2$ 到 $4$ 关于 $y$ 积分，将 $x$ 视为常数：

简化含 $y^2$ 的项：

在边界处求值：

4. 计算外层积分（关于 $x$）

最后，关于 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：

在边界处求值：

最终答案

要计算区域 $W$ 上的三重积分 $\iiint_W 66z \, dV$，我们首先需要根据给定的不等式确定积分限。

1. 确定积分区域

区域 $W$ 定义为：

• $0 \le x \le 1$
• $x^2 \le y \le 1$
• $x-y \le z \le x+y$

我们可以按 $dz \, dy \, dx$ 的顺序设置累次积分：

2. 计算内层积分（关于 $z$）

首先，关于 $z$ 积分，将 $x$ 和 $y$ 视为常数：

代入极限：

使用恒等式 $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$，其中 $a=x$ 且 $b=y$：

3. 计算中层积分（关于 $y$）

现在，将结果从 $x^2$ 到 $1$ 关于 $y$ 积分，将 $x$ 视为常数：

4. 计算外层积分（关于 $x$）

最后，关于 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 积分：

在边界处求值：

为分数找到公分母：

最终答案

设向量场为 $\vec{F} = \langle P, Q, R \rangle$，其中：

1. 计算散度

$\vec{F}$ 的散度由 del 算子 $\nabla$ 与向量场 $\vec{F}$ 的点积给出：

我们计算偏导数：

将这些相加，我们得到：

2. 计算旋度

$\vec{F}$ 的旋度由 del 算子 $\nabla$ 与向量场 $\vec{F}$ 的叉积给出：

我们计算必要的偏导数：

• 对于 $\mathbf{i}$-分量： $$\frac{\partial R}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = 3e^{2y+3z} \implies 0 - 3e^{2y+3z} = -3e^{2y+3z}$$
• 对于 $\mathbf{j}$-分量： $$\frac{\partial P}{\partial z} = 0, \quad \frac{\partial R}{\partial x} = 2x \implies 0 - 2x = -2x$$
• 对于 $\mathbf{k}$-分量： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x \implies 0 - x = -x$$

因此，旋度为：

最终答案

要计算线积分 $\int_C \sqrt{1+36xy} \, ds$，我们需要参数化曲线 $C$，确定弧长元素 $ds$，然后计算定积分。

1. 参数化曲线 $C$

曲线 $C$ 由函数 $y = 4x^3$ 给出，从点 $(0,0)$ 到 $(1,4)$。我们可以使用 $x$ 作为参数。 设 $x = t$。则 $y = 4t^3$。 $x$ 的范围从 $0$ 到 $1$，因此参数 $t$ 的范围从 $0$ 到 $1$。

2. 计算弧长元素 $ds$

微分弧长 $ds$ 由下式给出：

首先，计算关于 $t$ 的导数：

将这些代入 $ds$ 的公式：

3. 用 $t$ 表示被积函数

被积函数是 $f(x,y) = \sqrt{1+36xy}$。代入 $x=t$ 和 $y=4t^3$：

4. 设置并计算积分

现在，将被积函数和 $ds$ 代入线积分：

两个平方根项相乘形成根内的表达式：

现在，计算定积分：

最终答案

首先处理注意部分，我们通过计算旋度来确定向量场 $\vec{F}$ 是否为保守场。

1. $\vec{F}$ 是否为保守场？

向量场 $\vec{F} = \langle P, Q, R \rangle$ 是保守场的充要条件是 $\text{curl}(\vec{F}) = \vec{0}$（假设定义域是单连通的）。 给定 $\vec{F} = \langle xy, 3, z^3 \rangle$，我们有 $P = xy$、$Q = 3$ 和 $R = z^3$。 旋度由下式给出：

计算分量：

• $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 0 = 0$
• $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 0 = 0$
• $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - x = -x$

因此，

由于 $\text{curl}(\vec{F}) \neq \vec{0}$（具体来说，$z$-分量为 $-x$，不恒为零），因此向量场不是保守场。这就是为什么我们不能使用线积分基本定理而必须直接计算积分的原因。

2. 计算线积分

我们使用参数化 $\vec{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, t \rangle$（$0 \le t \le \pi$）来计算 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$。

步骤 1：求 $d\vec{r}$

步骤 2：在曲线上计算 $\vec{F}$ 将 $x = \cos t$、$y = \sin t$ 和 $z = t$ 代入 $\vec{F}$：

步骤 3：计算点积 $\vec{F} \cdot d\vec{r}$

步骤 4：关于 $t$ 积分

我们可以将其分为三个积分：

• 第一个积分： 设 $u = \sin t$，则 $du = \cos t \, dt$。极限从 $0 \to 0$ 和 $\pi \to 0$ 变化。

  $$\int_0^{\pi} -\sin^2 t \cos t \, dt = \left[ -\frac{\sin^3 t}{3} \right]_0^{\pi} = 0 - 0 = 0$$

• 第二个积分：

  $$\int_0^{\pi} 3 \cos t \, dt = 3 [\sin t]_0^{\pi} = 3(0 - 0) = 0$$

• 第三个积分：

  $$\int_0^{\pi} t^3 \, dt = \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^{\pi} = \frac{\pi^4}{4} - 0 = \frac{\pi^4}{4}$$

将这些结果相加：

最终答案

要解决这些积分，我们首先需要参数化线段 $C$。

1. 参数化曲线 $C$

曲线 $C$ 是从 $P_0 = (-2, 1, 0)$ 到 $P_1 = (-1, 2, 1)$ 的线段。 方向向量为 $\vec{v} = P_1 - P_0 = \langle -1 - (-2), 2 - 1, 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle$。 我们可以使用 $t$（其中 $0 \le t \le 1$）参数化曲线：

因此，坐标为：

位置向量的导数为：

导数的模为：

因此，微分弧长为 $ds = \sqrt{3} \, dt$，微分向量为 $d\vec{r} = \langle 1, 1, 1 \rangle \, dt$。

a. 标量线积分

我们需要设置 $\int_C f(x,y,z) \, ds$，其中 $f(x,y,z) = yz - x^2$。

步骤 1：将参数化代入 $f$

步骤 2：简化被积函数

步骤 3：设置积分

步骤 4：计算

b. 向量线积分

我们需要设置 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$，其中 $\vec{F} = \langle 2x-y, 2z, y-z \rangle$。

步骤 1：将参数化代入 $\vec{F}$

步骤 2：简化 $\vec{F}$ 的分量

• $x$-分量：$2(-2+t) - (1+t) = -4 + 2t - 1 - t = t - 5$
• $y$-分量：$2t$
• $z$-分量：$1 + t - t = 1$ 所以，$\vec{F}(\vec{r}(t)) = \langle t - 5, 2t, 1 \rangle$。

步骤 3：计算点积 $\vec{F} \cdot \vec{r}'(t)$

步骤 4：设置积分

步骤 5：计算

最终答案

a. $\displaystyle \int_C (yz - x^2) \, ds = \int_0^1 \sqrt{3}(5t - 4) \, dt = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$
b. $\displaystyle \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (3t - 4) \, dt = -\frac{5}{2}$

a. 证明 $\vec{F}$ 是保守场并求势函数

设 $\vec{F} = \langle P, Q \rangle$，其中 $P = 3+2xy$ 且 $Q = x^2-3y^2$。 $\vec{F}$ 在单连通域（如 $\mathbb{R}^2$）上为保守场的条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 成立。

计算偏导数：

由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场 $\vec{F}$ 是保守场。

为了找到势函数 $f(x,y)$，使得 $\nabla f = \vec{F}$，我们求解方程组：

1. $\frac{\partial f}{\partial x} = 3+2xy$
2. $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2-3y^2$

关于 $x$ 积分第一个方程：

其中 $g(y)$ 是 $y$ 的任意函数。

现在，将此表达式关于 $y$ 求导并设为等于 $Q$：

关于 $y$ 积分：

因此，势函数为：